Utilizando frações em um cálculo prático
Neste texto, analisaremos a Questão 42 da prova amarela de matemática do Enem 2005. Devemos, para começar, prestar atenção à malha quadriculada que ilustra o problema: ela representa o pátio ao qual a questão se refere e mostra a regra seguida na distribuição das pastilhas pretas e brancas, utilizadas para revestir o pátio. Veja:
Seguindo as colunas ou as linhas do desenho, verificamos que a fração de pastilhas pretas é igual a 1/5 (ou 20%), enquanto que, em relação às brancas, temos 4/5 = 80%.
Essa regra na distribuição das pastilhas pretas e brancas permite projeções em relação ao tamanho do pátio, mas sem que se altere a proporção. Não importa se o pátio possui 200, 500 ou 1.000 metros quadrados: a proporção de distribuição das pastilhas será sempre de 20% para a cor preta e de 80% para a cor branca.
Dessa forma, a condição imposta pelo problema, a partir dessa proporção, permite que a área seja estrategicamente projetada para uma medida com apenas um metro quadrado, que é exatamente a unidade utilizada para informar o preço de cada pastilha e o custo de todo o revestimento. Essa será, portanto, a nossa base de cálculo.
Assim, em cada metro quadrado do pátio, consideraremos os 20% e os 80% ocupados pelas pastilhas:
Com a informação de que o preço da pastilha preta é de R$ 10,00 por metro quadrado, enquanto que a branca custa R$ 8,00, calculamos o custo de cada uma nessa unidade de área:
A soma de R$ 2,00 com R$ 6,40 conduz a um total de R$ 8,40 - que será o preço do revestimento por metro quadrado, o que define a alternativa B como a correta.
Imagine se, em vez de revestirmos um pátio com dois tipos de pastilhas, a questão tratasse de um químico que gasta quarenta litros de combustível (composto por 20% de álcool e 80% de gasolina), com o objetivo de testar o rendimento de um motor. Sabendo que o preço do litro da gasolina custa R$ 2,49 e do álcool R$ 1,79, qual será o custo da mistura por litro?
O problema é praticamente igual ao da prova: as pastilhas pretas estão, agora, disfarçadas de gasolina, enquanto que as brancas, de álcool. No entanto, apesar da sua resolução ser mais fácil, porque informa diretamente a porcentagem da mistura, é importante lembrar que o dado sobre os quarenta litros de combustível é desnecessário para a resolução, e pode atrapalhar se o estudante não souber bem a que se refere a proporção.
Assim, para essa resolução, mantemos o mesmo procedimento de escolhermos uma base de cálculo - que, no caso, será de 1 litro:
Agora, se neste problema, além do que foi pedido, também se perguntasse quanto se gastou na experiência em relação à queima do combustível, nesse caso, sim, o volume total de combustível seria fundamental para a resolução - e teríamos que multiplicar R$ 1,93/litro pelos quarenta litros:
Há inúmeros problemas com esse mesmo tipo de estrutura matemática, e é importante exercitá-los ampliando a quantidade de elementos.
Que tal, por exemplo, pensar em um revestimento com quatro tipos de pastilha? E uma mistura com 70% de gasolina, 10% de álcool e 20% de aditivo? Pesquise os preços e construa você mesmo esse tipo de problema.
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Seguindo as colunas ou as linhas do desenho, verificamos que a fração de pastilhas pretas é igual a 1/5 (ou 20%), enquanto que, em relação às brancas, temos 4/5 = 80%.
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Essa regra na distribuição das pastilhas pretas e brancas permite projeções em relação ao tamanho do pátio, mas sem que se altere a proporção. Não importa se o pátio possui 200, 500 ou 1.000 metros quadrados: a proporção de distribuição das pastilhas será sempre de 20% para a cor preta e de 80% para a cor branca.
Dessa forma, a condição imposta pelo problema, a partir dessa proporção, permite que a área seja estrategicamente projetada para uma medida com apenas um metro quadrado, que é exatamente a unidade utilizada para informar o preço de cada pastilha e o custo de todo o revestimento. Essa será, portanto, a nossa base de cálculo.
Assim, em cada metro quadrado do pátio, consideraremos os 20% e os 80% ocupados pelas pastilhas:
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Com a informação de que o preço da pastilha preta é de R$ 10,00 por metro quadrado, enquanto que a branca custa R$ 8,00, calculamos o custo de cada uma nessa unidade de área:
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A soma de R$ 2,00 com R$ 6,40 conduz a um total de R$ 8,40 - que será o preço do revestimento por metro quadrado, o que define a alternativa B como a correta.
Outras aplicações
A proporção está presente em várias áreas do conhecimento, principalmente em Física, Química e Biologia. Assim, vamos pensar em outros problemas.Imagine se, em vez de revestirmos um pátio com dois tipos de pastilhas, a questão tratasse de um químico que gasta quarenta litros de combustível (composto por 20% de álcool e 80% de gasolina), com o objetivo de testar o rendimento de um motor. Sabendo que o preço do litro da gasolina custa R$ 2,49 e do álcool R$ 1,79, qual será o custo da mistura por litro?
O problema é praticamente igual ao da prova: as pastilhas pretas estão, agora, disfarçadas de gasolina, enquanto que as brancas, de álcool. No entanto, apesar da sua resolução ser mais fácil, porque informa diretamente a porcentagem da mistura, é importante lembrar que o dado sobre os quarenta litros de combustível é desnecessário para a resolução, e pode atrapalhar se o estudante não souber bem a que se refere a proporção.
Assim, para essa resolução, mantemos o mesmo procedimento de escolhermos uma base de cálculo - que, no caso, será de 1 litro:
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Agora, se neste problema, além do que foi pedido, também se perguntasse quanto se gastou na experiência em relação à queima do combustível, nesse caso, sim, o volume total de combustível seria fundamental para a resolução - e teríamos que multiplicar R$ 1,93/litro pelos quarenta litros:
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Há inúmeros problemas com esse mesmo tipo de estrutura matemática, e é importante exercitá-los ampliando a quantidade de elementos.
Que tal, por exemplo, pensar em um revestimento com quatro tipos de pastilha? E uma mistura com 70% de gasolina, 10% de álcool e 20% de aditivo? Pesquise os preços e construa você mesmo esse tipo de problema.
*Antonio Rodrigues Neto, professor de matemática no ensino fundamental e superior, é mestre em educação pela USP e autor do livro "Geometria e Estética: experiências com o jogo de xadrez" pela Editora da UNESP.
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