Convite aos professores!!!!!!!!!!!

Para cientistas, arte e matemática têm muito em comum

BERKELEY, Califórnia - Brent Collins passou anos esculpindo madeira, criando conchas retorcidas de formato agradável, antes de descobrir que havia se tornado um matemático.

Collins, um artista autodidata que mora no Missouri, sempre trabalhou de forma intuitiva. Mas as suas esculturas têm chamado cada vez mais a atenção de surpresos matemáticos, que dizem que várias das suas peças se constituem em soluções para uma rigorosa fórmula de geometria espacial avançada.

Finalmente, quando um cientista sugeriu que trabalhassem em colaboração, o artista percebeu "que havia alguma conexão entre o processo de fazer as minhas esculturas e a prática da ciência". Ele fez essa declaração em um recente seminário, durante o encontro da Associação Norte-Americana para o Avanço da Ciência.

Matemática e arte não poderiam soar como campos mais distintos para a imaginação popular. Enquanto uma é tida como uma tarefa fria e analítica do hemisfério cerebral esquerdo, a outra seria controlada pelo hemisfério direito, responsável pelos sentimentos profundos e pela imaginação. Mesmo assim, Collins e outros membros daquilo que certas pessoas chamam de "movimento matemático-artístico" afirmam estar encontrando inspiração em um terreno em que os interesses são inesperadamente comuns.

Mike Field, matemático da Universidade de Houston, que falou no seminário, juntamente com Collins, utiliza fórmulas para criar tapeçarias coloridas que parecem ser peças de um habilidoso artista batik, ou mesmo cenas ampliadas de vida aquática. Uma nova exibição na universidade Berkshire Community College, em Pittsfield, inclui trabalhos de Collins, Field, e George Hart, que criou uma intrincada esfera de formas, utilizando garfos, facas e colheres de plástico. E Richard Taylor, um físico da Universidade do Oregon, descobriu uma sutil estrutura estatística por detrás das pinturas de Jackson Pollock, respingadas de tinta. Essa estrutura é tão precisa que, por meio dela, Taylor tem sido capaz de desmascarar falsificações da obra do artista, através do computador.

Tanto cientistas quanto matemáticos envolvidos no trabalho afirmam que as suas abordagens diferentes se baseiam na crença de que existe algo na mente humana que aprecia o tipo de ordem sutil encontrada no mundo natural. Seria esse o motivo pelo qual achamos feias as formas que não se conformam a esse padrão.

"Algo em nossos cérebros parece ser capaz de seguir e entender uma curva matemática de uma maneira melhor do que nós o fazemos conscientemente", explica Charles Perry, um renomado escultor que mora em Connecticut.

Os matemáticos há muito tempo reconheceram que o mundo natural é repleto de uma ordem matemática, que está expressa tanto na maneira como a carapaça de um caracol se retorce em formas espiraladas como no padrão visual encontrado no ramo de uma árvore. Os cientistas acreditam que essas formas emergem no curso da evolução, conforme uma espécie procura incorporar formatos que se constituam em melhores soluções para que ela tenha sucesso no ambiente em que vive.

Nas três últimas décadas, no entanto, os matemáticos desenvolveram novos instrumentos para entenderem o mundo natural e para criarem belos objetos. Um desses campos é denominado de "dinâmica não linear", ou "teoria do caos", que é utilizada para descrever sistemas que sejam altamente sensíveis às pequenas mudanças, mas que, não obstante, demonstrem padrões de comportamento. Mike Field, da Universidade de Houston, que é um especialista nessa área, utiliza essas fórmulas para criar suas imagens.

Um outro ramo recente da matemática é chamado de "geometria fractal", que foi desenvolvida na década de setenta pelo matemático francês Benoit Mandelbrot.

A geometria fractal forneceu aos cientistas novos dispositivos estatísticos para que entendessem a ordem oculta nas formas, tais como o formato irregular da costa da Califórnia, que a princípio parecia ser completamente aleatório. As formas fractais demonstraram ser muito comuns no mundo natural, sendo "auto-similares", ou seja, possuem padrões que se repetem em diferentes escalas.

Taylor, da Universidade do Oregon, analisou 20 pinturas de Pollock e descobriu que todas possuíam regularidades fractais. A mesma análise, quando aplicada às cópias que também utilizam tinta salpicada, ou às obras dos que tentam imitar Pollock, demonstrou que elas não possuem essa regularidade, não sendo, portanto, fractais.

"Pollock já estava criando fractais 25 anos antes que eles fossem descobertos", afirma Taylor. Segundo ele, uma explicação é que os seres humanos naturalmente apreciam formas dotadas de matemática fractal, mesmo que não conheçam conscientemente essa matemática, que está implícita em determinado objeto.

Para demonstrar o seu argumento, Taylor criou imagens de tinta salpicada, algumas das quais dotadas de geometria fractal, e outras que não a tinham. A seguir ele pediu as pessoas que apontassem as imagens preferidas, sem lhes dizer nada sobre essas imagens. Noventa e cinco por cento dos indivíduos que participaram da experiência escolheram versões fractais, de acordo com Taylor.

No entanto, as esculturas expostas por Collins no Missouri estão relacionadas a um ramo da matemática que é anterior aos fractais e à teoria do caos.

As suas esculturas são exemplos das chamadas "superfícies mínimas"; uma superfície que se curva de uma maneira específica. Para que uma forma seja considerada como superfície mínima, cada um dos seus pontos, quando examinados de perto, deve ter o formato de sela típico de um chip de batata frita, com a curvatura em uma direção se opondo exatamente à curvatura na direção perpendicular. O resultado, que é difícil de ser descrito através de palavras, pode ser extremamente elegante.

Em 1995, Carlo Sequin, professor de engenharia da Universidade da Califórnia em Berkeley, fez contatos com Collins e logo os dois concordaram em colaborar um com o outro. Intrigado com as formas criadas por Collins, Sequin fez um programa de computador que trabalha como um "gerador de esculturas", revelando o formato das diferentes superfícies mínimas, conforme os parâmetros sofrem variações.

Finalmente, eles encontraram uma superfície mínima, complexa e retorcida, que Collins sentiu que se encaixava no campo da arte. Depois, Sequin lhe enviou os planos daquilo que se tornaria o "Hexágono Hiperbólico II". Depois disso Collins passou a trabalhar com outros tipos de esculturas, mas Sequin afirma que está interessado em criar um novo programa de computador para auxiliar o artista. O cientista adverte que está "sempre um ano ou dois atrás" de Collins. Uma outra escultura de Collins, denominada "Flor Atômica 2", será parte de uma exposição itinerante de arte matemática, que será realizada no ano que vem, organizada por John Sims, da Ringling School of Art and Design, na Flórida.

Collins afirma que continua a encontrar conexões entre o trabalho criativo e freqüentemente solitário que faz, e o trabalho criativo, e igualmente solitário, feito pelos matemáticos.

"Conversei com matemáticos teóricos e as vidas interiores que eles descrevem são muito similares a de nós, artistas", afirma Collins. "É uma vida dolorosa, mas quando surge uma solução elegante, acontece a catarse e você se sente como se estivesse dançando".

Os matemáticos concordam que trazem um sentido de beleza para seus trabalhos, ainda que não se trate de uma beleza que possa ser apreciada pela maioria das pessoas.

"As demonstrações matemáticas são obras de arte, e a estética tem um importante papel na forma como elas são apreciadas", afirma Arthur Jaffe, professor de matemática da Universidade de Harvard. "Algumas demonstrações são elegantes, e dão a impressão de serem perfeitas". E quando se faz uma demonstração matemática, ou quando se termina uma obra de arte, sempre existe o próximo projeto, e a sensação constante de que invenção e descoberta trazem novos questionamentos.

V Reunião do GEPFEM

Atenção a todos a quem interessar possa: V reunião do GEPFEM dia 30 de Setembro de 2010 nas dependências da DDPM, a partir das 14:00hs, todo mundo é convidado!!!!!!!!!!!!

Matemática no dia-a-dia!!!!!!!!!

Utilizando frações em um cálculo prático

Neste texto, analisaremos a Questão 42 da prova amarela de matemática do Enem 2005. Devemos, para começar, prestar atenção à malha quadriculada que ilustra o problema: ela representa o pátio ao qual a questão se refere e mostra a regra seguida na distribuição das pastilhas pretas e brancas, utilizadas para revestir o pátio. Veja:




Seguindo as colunas ou as linhas do desenho, verificamos que a fração de pastilhas pretas é igual a 1/5 (ou 20%), enquanto que, em relação às brancas, temos 4/5 = 80%.




Essa regra na distribuição das pastilhas pretas e brancas permite projeções em relação ao tamanho do pátio, mas sem que se altere a proporção. Não importa se o pátio possui 200, 500 ou 1.000 metros quadrados: a proporção de distribuição das pastilhas será sempre de 20% para a cor preta e de 80% para a cor branca.

Dessa forma, a condição imposta pelo problema, a partir dessa proporção, permite que a área seja estrategicamente projetada para uma medida com apenas um metro quadrado, que é exatamente a unidade utilizada para informar o preço de cada pastilha e o custo de todo o revestimento. Essa será, portanto, a nossa base de cálculo.

Assim, em cada metro quadrado do pátio, consideraremos os 20% e os 80% ocupados pelas pastilhas:




Com a informação de que o preço da pastilha preta é de R$ 10,00 por metro quadrado, enquanto que a branca custa R$ 8,00, calculamos o custo de cada uma nessa unidade de área:




A soma de R$ 2,00 com R$ 6,40 conduz a um total de R$ 8,40 - que será o preço do revestimento por metro quadrado, o que define a alternativa B como a correta.

Outras aplicações

A proporção está presente em várias áreas do conhecimento, principalmente em Física, Química e Biologia. Assim, vamos pensar em outros problemas.

Imagine se, em vez de revestirmos um pátio com dois tipos de pastilhas, a questão tratasse de um químico que gasta quarenta litros de combustível (composto por 20% de álcool e 80% de gasolina), com o objetivo de testar o rendimento de um motor. Sabendo que o preço do litro da gasolina custa R$ 2,49 e do álcool R$ 1,79, qual será o custo da mistura por litro?

O problema é praticamente igual ao da prova: as pastilhas pretas estão, agora, disfarçadas de gasolina, enquanto que as brancas, de álcool. No entanto, apesar da sua resolução ser mais fácil, porque informa diretamente a porcentagem da mistura, é importante lembrar que o dado sobre os quarenta litros de combustível é desnecessário para a resolução, e pode atrapalhar se o estudante não souber bem a que se refere a proporção.

Assim, para essa resolução, mantemos o mesmo procedimento de escolhermos uma base de cálculo - que, no caso, será de 1 litro:




Agora, se neste problema, além do que foi pedido, também se perguntasse quanto se gastou na experiência em relação à queima do combustível, nesse caso, sim, o volume total de combustível seria fundamental para a resolução - e teríamos que multiplicar R$ 1,93/litro pelos quarenta litros:




Há inúmeros problemas com esse mesmo tipo de estrutura matemática, e é importante exercitá-los ampliando a quantidade de elementos.

Que tal, por exemplo, pensar em um revestimento com quatro tipos de pastilha? E uma mistura com 70% de gasolina, 10% de álcool e 20% de aditivo? Pesquise os preços e construa você mesmo esse tipo de problema.

*Antonio Rodrigues Neto, professor de matemática no ensino fundamental e superior, é mestre em educação pela USP e autor do livro "Geometria e Estética: experiências com o jogo de xadrez" pela Editora da UNESP.

Aumenta número de professores formados em áreas carentes do ensino

Dados inéditos do Ministério da Educação mostram que cresceu 84%, em sete anos, o número de universitários formados em cursos para lecionar nas matérias mais carentes de docentes no ensino médio (física, química, biologia e matemática). 

De acordo com o texto, 39,8 mil universitários conseguiram o diploma em uma das quatro licenciaturas no ano passado. Apesar disso, o contingente é bem inferior aos 100 mil docentes sem formação específica que atuam nessas quatro disciplinas do ensino médio. Em física, por exemplo, se formaram 2.000 alunos no ensino superior em 2009, mas 33 mil docentes estão improvisados no antigo colegial.

O ministério reconhece que a formação de professores precisa melhorar, mas acredita que os novos dados mostram avanços, uma vez que há oferta maior de profissionais para contratações. A pasta cita como ações que contribuíram para o aumento de concluintes a adoção de bolsa de R$ 400 aos alunos de licenciaturas e o piso nacional do magistério, que começou com R$ 950 no ano passado, mas sofre resistência de alguns Estados --o valor pode servir de estímulo para conclusão do curso.